러셀의 패러독스 vs 힐베르트 호텔: 무한과 모순의 배틀!

등장인물:

수리: 수학 잘하는 여학생 (수리과학부)

인문: 문학과 영화를 좋아하는 남학생 (미학과)

통섭: 둘 다 조금씩 관심 있는 호기심 많은 남학생 (자유전공학과)

뮤지: 음악을 좋아하는 기타리스트 (실용음악과)

통섭: 요즘 집합론에 대해 궁금한 게 생겼어. 무한이나 러셀의 패러독스 같은 이야기가 너무 복잡해 보여서, 그걸 쉽게 이해할 수 있을까?

수리: 오, 흥미로운 주제 선택했네! 러셀의 패러독스는 꽤 유명한 모순인데, 쉽게 설명해 줄 수 있어. 그전에, 집합론에 대해 기본적으로 이해해야 할 게 있어. 칸토르라는 수학자가 무한 집합론을 발전시켰거든. 무한도 크기가 다르다는 걸 보여줬어!

인문: 무한이 크기가 다르다고? 그게 어떻게 가능한 거지? 무한은 그냥 무한 아닌가?

수리: 나도 처음엔 헷갈렸는데, 칸토르가 가산 무한과 비가산 무한을 구분했어. 가산 무한은 우리가 셀 수 있는 무한이야. 예를 들어 자연수 1, 2, 3, … 처럼 말이야. 그런데 비가산 무한은 셀 수 없는 무한이야. 실수 집합처럼 연속적으로 이어진 숫자들이 있지. 그건 셀 수가 없어.

뮤지: 무한에 크기가 있다는 거... 무한 호텔 같은 거랑 관련 있지 않아? 그... 뭐지? 힐베르트 호텔인가?

수리: 맞아, 그게 바로 힐베르트 호텔! 간단히 설명하자면, 이 호텔은 무한히 많은 방을 가지고 있는데, 모든 방이 가득 차도 새로운 손님을 받을 수 있어. 방 번호를 1씩 옮겨서 1번 방을 비우면 되거든. 이게 바로 가산 무한의 특성이지.

통섭: 오, 그러니까 그 호텔은 계속 손님을 받을 수 있는 거야? 신기하네.

수리: 응, 그런데 가산 무한은 그렇게 계속 세어나갈 수 있는 반면, 비가산 무한은 그게 안 돼. 실수 집합처럼 셀 수 없는 경우가 있어. 이게 바로 무한의 복잡함이지.

인문: 그런데, 러셀의 패러독스는 어디서 나오는 거야? 집합론에서 그런 게 왜 문제지?

수리: 좋은 질문이야. 러셀의 패러독스는 ‘스스로를 원소로 포함하지 않는 집합들의 집합’을 생각할 때 발생해. 만약 그 집합이 자신을 원소로 포함하면, 스스로를 포함하지 않아야 하고, 스스로를 포함하지 않으면 포함해야 하는 모순이 생기거든.

통섭: 어? 잠깐, 이발사 이야기랑 비슷한 것 같아. 이발사가 자신을 면도해야 할지 말아야 할지 헷갈리는 거잖아!

수리: 맞아, 그게 바로 이발사 패러독스야! 자기 자신에 대한 모순을 설명하는 좋은 비유지.

뮤지: 그럼 그 문제를 어떻게 해결해? 이발사는 결국 스스로를 면도할 수 없는 건가?

수리: 러셀의 패러독스를 해결하기 위해서 수학자들은 공리적 집합론을 만들었어. 그게 바로 ZFC 집합론이야. 이론적으로 모든 집합을 자유롭게 정의할 수 없도록 제한을 둔 거지. 자기 자신을 원소로 포함하는 집합은 정의할 수 없게 한 거야.

인문: 그러니까 더 이상 자기 자신을 원소로 포함하는 집합 같은 건 아예 없다고 정의해버린 거네?

수리: 맞아. 정칙성 공리라는 게 있어서, 집합이 스스로를 원소로 포함하지 못하게 제한하는 거야. 이걸로 모순을 방지한 거지.

통섭: 그럼 이제 모순은 해결된 건가?

수리: 어느 정도는 그렇지. ZFC 집합론 덕분에 러셀의 패러독스 같은 문제는 더 이상 발생하지 않아. 하지만 여전히 수학에서 다루는 무한과 집합의 세계는 복잡해. 아직도 해결되지 않은 문제들이 많지.

뮤지: 흠... 음악에서도 무한은 복잡하긴 해. 예를 들어, 음계를 무한히 세분할 수 있다고 생각하면 어떤 소리 사이에도 무한히 많은 소리가 있을 테니까.

인문: 그거 실수 집합의 비가산 무한 개념이랑 비슷하네. 셀 수 없는 무한한 음